Виды тригонометрических уравнений

1. Простейшие тригонометрические уравнения:

Пример 1. 2sin(3x - p /4) -1 = 0

Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p /4)

sin(3x - p /4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим

3х - p /4 = (-1) n arcsin 1/2 + n p , n I Z

Зх - p /4 = (-1) n p /6 + n p , n I Z; 3x = (-1) n p /6 + p /4 + n p , n I Z;

x = (-1) n p /18 + p /12 + n p /3, n I Z

Если k = 2n (четное), то х = p /18 + p /12 + 2 p n/3, n I Z

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p /18 + p /12 + ((2 p n + 1) p )/3 =

= p /36 + p /3 + 2 p n/3 = 13 p /36 + 2 p n/3, n I z

Ответ: х 1 = 5 p /6 + 2 p n/3,n I Z, x 2 = 13 p /36 + 2 p n/3, n I Z,

или в градусах: х, = 25° + 120 · n, n I Z; x, = 65° + 120° · n, n I Z

Пример 2. sinx + O з cosx = 1

Решение. Подставим вместо O з значение ctg p /6, тогда уравнение примет вид

sinx + ctg p /6 cosx = 1; sinx + (cos p /6)/sin p /6 · cosx = 1;

sinx sin p /6 + cos p /6 cosx = sin p /6; cos(x - p /6) = 1/2

По формуле для уравнения cosx = а находим

х - p /6 = ± arccos 1/2 + 2 p n, n I Z; x = ± p /3 + p /6 + 2 p n, n I Z;

x1 = p /3 + p /6 + 2 p n, n I Z; x1 = p /2 + 2 p n, n I Z;

x2 = - p /3 + p /6 + 2 p n, n I Z; x2 = - p /6 + 2 p n, n I Z;

Ответ: x1 = p /2 + 2 p n, n I Z; x2 = - p /6 + 2 p n, n I Z

 

  2. Двучленные уравнения:

Пример 1. sin3x = sinx

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx · cos2x = 0

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения

sinx = 0 или cos2x = 0

x1 = p n, n I Z, x2 = p /4 + p n/2, n I Z

Ответ: x1 = p n, n I Z, x2 = p /4 + p n/2, n I Z

3. Разложение на множители:

 

Пример 1. sinx + tgx = sin 2 x / cosx

Решение. cosx ? 0; x ? p /2 + p n, n I Z

sinx + sinx/cosx = sin 2 x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx

sinx · cosx + sinx - sin 2 x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;

x1 = p n, n I Z; cosx - cos( p /2 - x) = -1; 2sin p /4 · sin( p /4 - x) = -1;

O 2 · sin( p /4 - x) = -1; sin( p /4 -x) = -1/ O 2; p /4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/ O 2 + p n, n I Z;

x2 = p /4 - (-1) n+1 · p /4 - p n, n I Z; x2 = p /4 + (-1) n · p /4 + p n, n I Z

Если n = 2n (четное), то x = p /2 + p n, если n = 2n + l (нечетное), то x = p n

Ответ: x1 = p n, n I Z; x2 = p /4 + (-I) n · p /4 + p n, n I Z

4. Способ подстановки

Пример 1. 2 sin 2 x = 3cosx

Решение. 2sin 2 x - 3cosx = 0; 2 (l - cos 2 x) - 3cosx = 0; 2cos 2 x + 3cosx - 2 = 0

Пусть z = cosx, |z| ? 1. 2z 2 + 32z - 2=0

Д = 9+16 = 25; O Д = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -

-не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = 1/2; х = ± p /3 + 2 p n, n I Z. Ответ: х = ± p /3 + 2 p n, n I Z

5. Однородные уравнения

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или

a sin 3 x + b sin 2 x cosx + c sinx cos 2 x + d sin 3 x = 0 и т.д

В этих уравнениях sinx ? 0, cosx ? 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin 2 x или на cos 2 x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx

Пример 1. O 3sin 2 2x - 2sin4x + O 3cos 2 2x = 0

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла

Получим уравнение O 3sin 2 2x - 4sin2xcos2x + O 3cos 2 2x = 0

Разделим на cos 2 2x. Уравнение примет вид O 3 tg 2 2x – 4tg2x + O 3 = 0

Пусть z = tg2x, тогда O 3z 2 - 4z + O 3 = 0; Д = 4; O Д = 2

z1 = (4 +2)/2 O 3 = 6/2 O 3 = O 3; z2 = (4 – 2)/2 O 3 = 1/ O 3

tg2x = O 3 или tg2x = 1/ O 3

2x = p /3 + p n, n I Z; 2x = p /6 + p n, n I Z;

x1 = p /6 + p n/2, n I Z ; x2 = p /12 + p n/2, n I z

Ответ: x1 = p /6 + p n/2, n I Z ; x2 = p /12 + p n/2, n I z

6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1

sin j = 4/5; cos j = 3/5; sin(x+ j ) = 1, x + j = p /2 + 2 p n, n I Z

Ответ: x = p /2 - arcsin 4/5 + 2 p n, n I Z

7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых значений

Пример 1. 1/( O 3-tgx) – 1/( O 3 +tgx) = sin2x

Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения

tgx ? ± O 3, х ? ± p /8 + p n, n I Z и х ? ± p /2 + p n, n I Z

Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла

( O 3 + tgx - O 3 + tgx)/3 - tg 2 x = 2tgx/ (1 + tg 2 x); 2tgx / (3 - tg 2 x) = 2tgx/(1 + tg 2 x)

x1 = p n, n I Z

Второе уравнение имеет вид

2tg 2 x - 2 = 0; tg 2 x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p /4 + p n, n I Z

Ответ: x1 = p n, n I Z; х2 = ± p /4 + p n, n I Z

8. Иррациональные тригонометрические уравнения

Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени)

Пример 1. O ( cos 2 x + 0,5) + O ( sin 2 x + 0,5) = 2

Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат

cos 2 x + 0,5 + 2 O (( cos 2 x + 0,5) ( sin 2 x + 0,5)) + sin 2 x + 0,5 = 4

O (( cos 2 x + 0,5) ( sin 2 x + 0,5)) = 1; ( cos 2 x + 0,5) ( sin 2 x + 0,5) = 1

( 0,5 + 0,5 cos2x + 0,5)( 0,5 - 0,5 cos2x + 0,5) = 1; (1 + 0,5 cos2x) (1 - 0,5 cos2x) = 1;

1 – ? cos 2 2x = 1; cos2x=0; x = p /4 + p n/2, n I z

Ответ: x = p /4 + p n/2, n I z

9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция

Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений

Пример 1. tg(x 2 + 5x)ctg 6=1

Решение. Запишем уравнение в виде tg(x 2 +5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х 2 + 5х = 6 + p n, n I Z; х 2 + 5х - (6+ p n) = 0, n I z;

Д = 25 + 4(6 + p n) = 49 + 4 p n, n I Z; х1,2 = (-5 ± O (49 + 4 p n))/2, n I z

Решение имеет смысл, если 49 + 4 p n > 0, т.е. n ? -49/4 p ; n ? -3

 

  Литераура:

“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г

(стр. 116 - 125)

“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,

С . И . Шварцбурд, 1993 г

(стр. 62 - 78)

 

Нужен реферат, сочинение, конспект? Тогда сохрани - » Виды тригонометрических уравнений . Готовые домашние задания!

Предыдущий реферат из данного раздела: Спектральный анализ

Следующее сочинение из данной рубрики: КАКИЕ ГИПОТЕЗЫ МОЖНО ПРОВЕРЯТЬ С ПОМОЩЬЮ ДВУХВЫБОРОЧНОГО КРИТЕРИЯ ВИЛКОКСОНА?

Спасибо что посетили сайт Uznaem-kak.ru! Готовое сочинение на тему:
Виды тригонометрических уравнений.