Неустойчивости в гидродинамике: ячейки Бенара

Эти проблемы привлекают физиков уже в течении века [4]. Рассмотрим примеры того, как системы полностью разупорядоченные в состоянии теплового равновесия, будучи выведенными из состояния теплового равновесия, могут внезапно в высокой степени упорядочиваться. Среди этих проблем – так называемая проблема Бенара. Рассмотрим сначала проблему Бенара, или, как она называется, конвективная неустойчивость

Пусть имеется горизонтальный слой жидкости бесконечной протяженности [4]. Снизу его подогревают, благодаря чему поддерживается температурный градиент. Выраженный в подходящих безразмерных единицах, этот градиент называется числом Рэлея ? . Пока число Рэлея не слишком велико, жидкость остается спокойной, а тепло переносится за счет теплопроводности. Однако, если ? превосходит некоторое определенное значение, в жидкости внезапно возникает конвективное движение. Конвективные структуры весьма регулярны и могут образовывать либо цилиндрические, либо гексагональные конфигурации. Шестиугольники представляют собой вид сверху конвективных ячеек. Жидкость поднимается в центре ячейки и опускается у ее границ или наоборот. Задача состоит в объяснении механизма этого внезапного перехода типа “беспорядок – порядок“ и в предсказании формы и устойчивости ячеек. В более точной теории следует включить в рассмотрение флуктуации

С этой проблемой тесно связаны вихри Тейлора. Пусть между длинными неподвижным внешним цилиндром и концентрическим ему вращающимся внутренним цилиндром находится слой жидкости. Если скорость вращения внутреннего цилиндра, выраженная в подходящих безразмерных единицах (число Тейлора), достаточно мала, течение жидкости происходит вдоль круговых линий тока (течение Куэтта). Но если число Тейлора превосходит критическое значение, то вдоль аксиального направления появляются пространственно – периодические вихри – вихри Тейлора

Основные физические величины в этой задаче (ячейки Бенара)– это поле скоростей точке пространства x , y , z ,давление р, температура Т. Поле скоростей, давление и температура подчиняются определенным нелинейным уравнениям гидродинамики, которые можно привести к виду с явной зависимостью от числа Рэлея ? , задаваемого извне. При малых значениях мы находим решение, положив компоненты скорости равными нулю. Устойчивость этого решения доказывается путем линеаризации всех уравнений относительно стационарных значений скоростей, давления, температуры, где мы получаем затухающие волны. Если, однако, число Рэлея ? превосходит определенное критическое значение ? кр. , решения становятся неустойчивыми. Решения, которые становятся неустойчивыми, определяют набор мод. Реальное поле скоростей и температуры разлагается по этим модам с неизвестными амплитудами. Для амплитуд мод мы получаем нелинейные уравнения, которые приводят к определенным конфигурациям, создающиеся устойчивыми модами. Включая в рассмотрение тепловые флуктуации, мы приходим к задаче, в которой фигурируют детерминированные силы и флуктуирующие силы. Их совместное действие определяет область перехода, где ? » ? кр.

 

Глава 3. Основные уравнения.

 

Согласно [7], запишем систему уравнений для нахождения ? кр. :

D v - ? w + ? t n = 0

D t = - v z (3.1)

div v = 0,

где t - малое возмущение температуры, w - малое возмущение квадратичной скорости, n – единичный вектор в напралении оси z , - вертикально вверх

Приводим систему (3.1) к одному уравнению. Применив к первому уравнению операцию rotrot = ? div - D , взяв затем его z – компоненту, получим:

D 3 t = ? D 2 t , (3.2)

(где D 2 = 2 / х 2 + 2 / у 2 – двухмерный лапласиан). Граничные условия на обоих плоскостях:

t = 0, v z = 0, v z / z = 0 при z = 0, 1

(последнее эквивалентно, виду уравнения непрерывности, условиям v x = v y = 0, при всех х, у ). Ввиду второго из уравнений (3.1) условия для v z можно заменить условиями для высших производных от t :

2 t / z 2 = 0, 3 t / z 3 – k 2 t / z = 0

Ищем t в виде

t = f ( z ) j ( x , y ), j = e i kr , (3.3)

( где k – вектор в плоскости х, у ) и получаем для f ( z ) уравнение

( d 2 / dz 2 – k 2 ) 3 f + ? k 2 f = 0

Общее решение этого уравнения представляет собой линейную комбинацию функций ch m z и sh m z , где

m 2 = k 2 - ? 1/ 3 k 2/ 3 1 1/3

с тремя различными значениями корня. Коэффициенты этой комбинации определяются граничными условиями, приводящими к системе алгебраических уравнений, условие совместности которых дает трансцендентное уравнение, корни которого и определяют зависимости k = k n ( ? ), n = 1, 2, … Обратные функции ? = ? n ( k ) имеют минимум при определенных значениях k ; наименьший из этих минимумов и дает значение ? кр . Оно оказывается равным 1708, причем соответствующее значение волнового числа k кр = 3,12 в единицах 1/ h

Таким образом, горизонтальный слой жидкости толщины h с направленным вниз градиентом температуры А становится неустйчивым при

g b Ah 3 / n c > 1 7 0 8 , (3.4)

где c - температуропроводность, n = h / r - кинематическая вязкость, h - динамическая вязкость, b = - r - 1 ( r / T ) – температурный коэффициент расширения жидкости, r - плотность жидкости

При ? > ? кр в жидкости возникает стационарное конвективное движение, периодическое в плоскости ху. Все пространство между плоскостями разделяются на прилегающие друг к другу одинаковые ячейки, в каждой из которых жидкость движется по замкнутым траекториям, не переходя из одной ячейки в другую. Контуры этих ячеек на граничных плоскостях образуют в них некоторую решетку. Значение k кр определяет периодичность, но не симметрию этой решетки; линеаризованные уравнения движения допускают в (3.3) любую функцию j ( x , y ), удовлетворяющую уравнению ( D 2 – k 2 ) j = 0. Устранение этой неоднозначности в рамках линейной теории невозможно. По-видимому должна осуществляться «двухмерная» структура движения, в которой на плоскости ху имеется лишь одномерная периодичность – система параллельных полос

В надкритической области вблизи ? кр лишь эта структура оказывается устойчивой по отношению к малым возмущениям; «трехмерные» же призматические структуры оказываются неустойчивыми. Экспериментальные результаты существенно зависят от условий опыта (в том числе от формы и размеров боковых стенок сосуда) и не однозначны. Трехмерная гексагональная структура связана, по – видимому, с влиянием поверхностного натяжения на верхней свободной поверхности, и с температурной зависимостью вязкости жидкости ( здесь вязкость n рассматривалась постоянной )

 

4.1 Нестационарные конвективные возмущения в горизонтальном слое жидкости

 

Исследованию устойчивости равновесия плоскопараллельного горизонтального слоя жидкости при наличии вертикального градиента температуры посвящено очень большое число работ[10,11]. В большинстве из них устанавливаются условия, при которых наступает кризис равновесия и отыскиваются стационарные критические движения. Во многих случаях знание критических движений оказывается недостаточным, и представляет интерес изучение всего спектра возмущений, возникающих в теплостратифицированной жидкости. В настоящей работе исследуется спектр нестационарных возмущений горизонтального слоя жидкости со свободными и твердыми границами

В отличие от стационарного случая, вопрос о конвективной неустойчивости нестационарного равновесия к настоящему времени изучен совершенно недостаточно. Известно лишь, что нестационарность существенно влияет на характеристики устойчивости и, в частности, на порог конвекции

Особенности процесса разогрева иллюстрируются картами линий тока и изотерм, приведенными на рис.4.2. и рис 4.3., ( l = 5; D = 0,5*10 6 )

D = g b a 5 K / n 3 , P = n / c ,

где K – параметр, поределяющий темп нагрева, D – параметр, определяющий темп нагрева и интенсивность конвекции, l = L / a – относительная длина полости, а – ширина, L – длина полости, Р – число Прандтля

Из рисунков хорошо видно, как возмущения, первоначально возникшие вблизи боковых границ, развиваясь, привели к формированию (к моменту t =0,20) четырех вихрей. Теплое поле, остававшееся на начальной стадии почти теплопроводным ( t =0,04; изотермы почти горизонтальны), под влиянием конвективных возмущений принимает сложньй характер, отражающий ячеистую структуру течения. На поздних стадиях процесса имеегся система восходящих и нисходящих струй, разделяющих конвектнвные вихри. В местах столкновения струй с горизонтальными границами наблюдается сильное сгущение изотерм; в этих местах достигаются экстремальные значения локальных тепловых потоков. Обращает на себя внимание «взрывной» характер развития конвекции в момент t = 0,07, очевидно, свидетельствующий о наступлении неустойчивости нестационарного равновесия

 

 

t = 0,20

t = 0,12

t = 0,08

t = 0,06

t = 0,04

Рис.4.2. l = 5, D = 0,5*10 6

Дальнейший рост интенсивности конвекции происходит путем колебаний, которые, несомненно, связаны с перестройкой вихревой структуры. Момент t = 0,2, до которого был прослежен процесс, еще не соответствует наступлению регулярного режима нагрева.Отмеченные особенности процесса - взрывной характер возникновения конвекции и формирование структуры, состоящей из нескольких вихрей, подтверждаются расчетами, проведенными для других значений параметров, с увеличением D уменьшается характерное время начала интенсивной конвекции

Приведенные выше результаты относятся к развитию конвективных возмущений, первоначально зарождающихся вблизи торцов. Эти возмущения создавались ошибками округления при вычислении температуры на теплоизолированных (торцевых) участках границы. В результате переходного процесса формируется симметричная относительно вертикальной оси полости система конвективных вихрей (рис.4.3.)

Представляется интересным выяснить, зависит ли форма нестационарной конвекции и время начала интенсивного движения от типа начального возмущения. Для ответа на этот вопрос были проведены специальные расчеты конвекции в квадратной полости (l = 1) для двух типов начального возмущения. Первый тип соответствовал уже описанным выше возмущениям на боковых границах. Эти возмущения развивались в систему двух симметричных вихрей противоположного знака. Второй тип возмущений соответствовал одновихревому движению. Для генерации этого движения в начальный момент времени создавалось надлежащее распределение температуры на нижней границе

 

t = 0,20

t = 0,12

t = 0,08

t = 0,06

t = 0,04

Рис. 4.3. Особенности процесса разогрева (карты линий тока и изотерм, l = 5, D = 0,5*10 6 )

Результаты вычислений иллюстрируются в [9], в котором приведены зависимости y m ( t ) для двух указанных типов возмущений. Момент появления конвективного всплеска зависит от формы возмущения: при одновихревом движении всплеск происходит раньше, т. е. при меньшем значении мгновенного числа Грассхофа( G = ? / P ) Заметим, что в статическом случае дело обстоит аналогичным образом: одновихревой структуре соответствует наименьшее значение критического числа Грассхофа. Следует подчеркнуть, что для создания устойчиво развивающегося одновихревого движения требуются начальные возмущения достаточно большой амплитуды

 

Выводы

 

Проведен анализ литературы по общим проблемам синергетики и ковективной неустойчивости

Рассмотрены последние научные работы отечественных ученых по конвективной неустойчивости

Намечены планы по разработке демонстрационног прибора

 

Список литературы:

 

Рязанов А. И. Введение в синергетику. УФН, т.129, в. 4, ( дек. 1979 ), с.707 - 708

Самоорганизация в природе. Вып. 2 . Проблемы самоорганизации в природе и обществе. Т. 1 / Под ред. В. А. Дмитриенко, О.С. Разумовского: Материалы семинара “ Поиск связи между разными способами построения систем “. Томск: Изд – во Томского гос. Университета, 1998. – 248 с

Хакен Г. Информация и самоорганизация: Макроскопический подход к сложным системам: Пер. с англ. – М.: Мир, 1991. – 240 с., ил

Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. – 404 с., ил

Самоорганизация в природе. Вып. 1 / Под ред. В. А. Дмитриенко: Материалы семинара “ Поиск связи между разными способами построения систем “.Томск: Изд – во Томского гос. Университета, 1996. – 230 с

Принципы самоорганизации. М.: Мир, 1996. – 622 с

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. Т. VI . Гидродинамика. – 4-е изд., стер. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 736 с

Страницы: 1 2

Нужен реферат, сочинение, конспект? Тогда сохрани - » Неустойчивости в гидродинамике: ячейки Бенара . Готовые домашние задания!

Предыдущий реферат из данного раздела: Атмосферное давление

Следующее сочинение из данной рубрики: Синергетика и гидродинамика

Спасибо что посетили сайт Uznaem-kak.ru! Готовое сочинение на тему:
Неустойчивости в гидродинамике: ячейки Бенара.