Кривые второго порядка

Эллипс – это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фик¬сированных точек плоскости, называе¬мых фокусами, есть постоянная величина. Необходимо, чтобы эта по¬стоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса при¬нято обозначать через F 1 и F 2.

Выведем уравнение эллипса

Пусть М — произвольная точка эллипса с фокусами F 1 и F 2. Отрезки F 1 М и F 2 М (так же как и длины этих отрезков) назы¬ваются фокальными радиусами точки М. По¬стоянную сумму фокаль¬ных ра¬диусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

F 1 М + F 2 М = 2а

Расстояние F 1 и F 2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку¬сами F 1 , F 2.

Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r 1 и r 2 расстояния от точки М до фокусов ( r 1 = F 1 М, r 2 = F 2 М). Точка М будет нахо¬диться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда

r 1 + r 2 = 2а

Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r 1 и r 2 их выраже¬ниями через координаты х, у

Заметим, что, так как F 1 F 2 = 2с и так как фокусы F 1 и F 2 распо¬ложены на оси Ох симметрично от¬носительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (-с; 0) и (+с; 0); при¬няв это во внимание находим:

Заменяя r 1 и r 2 , получаем:

Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки

М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части равенства в квадрат, полу¬чим:

или

Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:

а 2 х 2 — 2а 2 сх + а 2 с 2 + а 2 у 2 = а 4 — 2а 2 сх + с 2 х 2 ,

откуда

(а 2 —с 2 )х 2 + а 2 у 2 = а 2 (а 2 —с 2 )

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

;

а>с, следовательно, а 2 —с 2 >0 и величина b —вещественна

b 2 = a 2 —c 2 ,

тогда

b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ,

или

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса

Уравнение определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка

Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас¬стояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; получаем:

Так как с< a , то Е<1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы

Заметим, что c 2 = a 2 — b 2 ; поэтому Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцен¬триситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1—Е 2 , тем меньше, следова¬тельно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b = a и Е=0

Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямо¬угольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением

Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а? b и, следова¬тельно, Е=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а> b

Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и рас¬положенные симметрично относи¬тельно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид

 

и

Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса Е<1, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эл¬липса; аналогично, левая ди¬ректриса расположена левее его левой вершины. Частным случаем эллипса является окружность. Её уравнение имеет вид:

х 2 + у 2 = R 2

1.2. Гипербола

Гипербола – это геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, на¬зываемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F 1 и F 2 , а расстояние между ними—через 2с

 

Пусть М — произвольная точка гиперболы с фокусами F 1 и F 2 . Отрезки F 1 М и F 2 М (так же, как и дли¬ны этих отрезков) называ¬ются фокальными радиусами точки М и обозначаются че¬рез r 1 и r 2 ( r 1 = F 1 М, r 2 = F 2 М). По определению гиперболы разность фокаль¬ных радиусов ее точки М есть по¬стоянная величина; эту постоян¬ную принято обозначать через 2а

Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F 1 и F 2 . Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F 1 М и F 2 М через r 1 и r 2 . Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда

r 1 — r 2 = ±2а

Так как F 1 F 2 =2с и так как фокусы F 1 и F 2 располо¬жены на оси Ох симметрично относительно на¬чала координат, то они имеют соответственно координаты (-с; 0) и (+с; 0); приняв это во внима¬ние находим:

,

Заменяя r 1 и r 2 , получаем:

Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе

Возведём обе части равенства в квадрат; получим:

или

Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:

c 2 x 2 – 2a 2 cx + a 4 = a 2 x 2 – 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 ,

откуда

(c 2 – a 2 )x 2 – a 2 y 2 = a 2 (c 2 – a 2 )

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

;

с> a , следовательно, с 2 —а 2 >0 и величина b —вещественна

b 2 = с 2 —а 2 ,

тогда

b 2 x 2 — a 2 y 2 = a 2 b 2 ,

или

Уравнение определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо¬угольных коорди¬нат, есть урав¬нение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рас¬стояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет бук¬вой Е, получим:

Так как для гиперболы с> a , то ?>1; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заме¬тив, что c 2 = a 2 + b 2 , находим:

 

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а от¬ношение в свою очередь оп¬ределяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы ха¬рактеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы

Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше Е 2 —1, тем меньше, следо¬вательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем бо¬лее вытянут ее ос¬новной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней ги¬перболы a = b и Е=?2

Рассмотрим какую-ни¬будь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением

 

Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, кото¬рая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гипер¬болы

Уравнения директрис в вы¬бранной системе координат имеют вид

Первую из них мы усло¬вимся называть левой, вто¬рую —правой

Так как для гиперболы Е>1, то

Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гипер¬болы; ана¬логично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной

1.3. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фо¬ку¬сом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой ди¬ректрисой (пред¬полагается, что эта прямая не проходит через фокус)

Фокус параболы принято обозначать буквой F , расстояние от фокуса до ди¬ректрисы—буквой p . Величину р называют параметром параболы

Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r рас¬стояние от точки М до фокуса ( r = FM ), через d —расстояние от точки М до дирек¬трисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда

r = d

Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r и d их выраже¬ниями через те¬кущие координаты х, у

Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв это во внимание, находим:

Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты отсюда, получаем:

 

число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть , откуда

Заменяя r и d , найдем

Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют коорди¬наты точки

М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе

Возведем обе части равенства в квадрат; получим:

или

у 2 =2рх

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у 2 =2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй сте¬пени; таким образом, парабола есть линия второго порядка

Нужен реферат, сочинение, конспект? Тогда сохрани - » Кривые второго порядка . Готовые домашние задания!

Предыдущий реферат из данного раздела: Матрицы

Следующее сочинение из данной рубрики: БИНАРНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ

Спасибо что посетили сайт Uznaem-kak.ru! Готовое сочинение на тему:
Кривые второго порядка.