Алгебраическое число

Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности. Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел

Если рассматривать корни многочленов: f(x)=x n +a 1 x n-1 +…+a n с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда этот многочлен имеет степень n=1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами

Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел

I. Краткий исторический очерк

Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы К. Гаусса (1777-1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида a+bi, где a и b – обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел

Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера (1810-1893) и Дирихле (1805-1859) и развита затем Кронекером (1823-1891), Дедекиндом (1831-1916) и Е.И. Золотаревым (1847-1878). Работы Лиувилля (1809-1882) и Эрмита (1822-1901) явились основой трансцендентных чисел

Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота

В последнее время все большее внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел

Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном вычете

К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, а так же работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм

II. Поле алгебраических чисел

2.1 Понятие числового поля

Естественный и важный подход к выделению и изучению тех или иных множеств чисел связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или иных действий

Определение 1 : Мы говорим, что некоторое множество чисел М замкнуто относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел их М , для которых определен результат данного действия над ним, число, является этим результатом, всегда принадлежащим М

Пример:

1. N Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения, т.к. " a, b О N = > (a+b) О N.

В отношении умножения множество N так же замкнуто. Но оно не является замкнутым относительно вычитания и деления. Действительно:

5, 7 О N, но 5-7=-2 П N,

3, 2 О N, но 3:2=1,5 П N

2. Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.

3. Множество чисел вида 2 к , к О N, замкнуто относительно умножения и деления.

2к * 2l=2k+l

2к:2l=2k-l

В связи с замкнутостью действий на множестве выделились классы числовых множеств

Рассмотрим один их классов, называемых полем

Определение 2: Множество чисел М , содержащие не менее двух чисел, называется числовым полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления

Последнее означает, что для любых a, b О M, должно иметь место a+b, a-b, a*b О M. Так же для любого a О M и любого b № 0 из М, должно выполняться a:b О M

Пример:

Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются:

1. поле всех рациональных чисел;

2. поле всех вещественных чисел;

3. поле всех комплексных чисел.

Что касается множества всех целых чисел, то оно не является числовым полем, ибо не замкнуто относительно деления

Существует бесконечно много числовых полей. Нас, в данном случае интересует поле алгебраических чисел

2. 2 Определение алгебраического числа

Существуют различные признаки, по которым их общего множества Z выделяю те или иные подмножества, подвергаемые специальному изучению. С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется выделение классов чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат тому или иному классу чисел

Определение 3: Число Z называется алгебраическим , если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами:

a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 =0

(a 0 , a 1 , … ,a n О Z; a n № 0),

т.е. выполняется:

a n z n +a n-1 z n-1 +…+a 1 z+a 0 =0

Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными

В определении алгебраического числа можно допустить, чтобы коэффициенты a 0 , a 1 , … ,a n-1 , a n были любыми рациональными числами, поскольку, умножив левую и правую части уравнения на целое число, являющиеся общим кратным знаменателем всех коэффициентов, мы получили уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет наше число

К алгебраическим числам принадлежат, в частности, и все рациональные числа. Действительно, рациональное число z= (p, q О N) очевидно является корнем уравнения: qx-p=0

Также всякое значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим числом. Действительно, число z= (p, q О N) является корнем уравнения:

qx n -p=0

Существуют и другие алгебраические числа, нежели указанное выше

Из f(x)=0 следует f(z) j (x)=0, где в качестве j (x) можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом для любого алгебраического числа z, из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени

Определение 4: Число n называется степенью алгебраического числа z, если z есть корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно не равного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого является z

Если корень многочлена n-ой степени с целыми рациональными коэффициентами z не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени меньшей чем n, то z не может быть корнем и тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени меньшей чем n, т.е. z – алгебраическое число степени n

Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени. Любая квадратическая иррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а 4-й степени биквадратическими иррациональностями

Пример:

1. - алгебраическое число 3-й степени, т.е. кубическая иррациональность. Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x 3 -2=0 и

не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами

Определение 5 : Если алгебраическое число n-й степени z является корнем многочлена f(x)=x n +b 1 x n-1 + … +b n (n і 1) (1) с рациональными коэффициентами, то f(x) называется минимальным многочленом для z

Таким образом, минимальным многочленом для z называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равном единице, корнем которого является z

Если вместо многочлена (1) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени n, корнем которого является z, то многочлен (1) может быть получен из него делением всех коэффициентов на старший член

Пример:

1. Минимальным многочленом для является x 3 -2, так как корень этого многочлена

не является корнем какого-либо многочлена степени с рациональными коэффициентами

Теорема 1: Если f(x) минимальный многочлен алгебраического числа z и f(x) многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что F(z)=0, то f(x) делитель F(x), т.е. F(x)=f(x)g(x), где g(x) также многочлен с рациональными коэффициентами

Доказательство: Согласно известной теореме алгебры F(x) можно представить в виде:

F(x)=f(x)g(x)+r(x)

где g(x) и к(ч) – многочлены с рациональными коэффициентами, причем степень r(x) меньше степени f(x). Поскольку F(x)=0 и f(z)=0, то придавая x значение z, получаем r(z)=0; z – корень многочлена r(x) с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем у минимального для z многочлена, т.е. меньшей чем степень z. Это может быть только если r(x) тождественно равен нулю, а значит F(x)=f(x)g(x). Теорема доказана

Теорема 2: Для любого алгебраического числа z минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел

Доказательство:

Пусть f(x) – минимальный многочлен для z. Предположим, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, т.е., что f(x)= w (x) j (x), w (x) j (x) – многочлены с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n

Из равенства w (x) j (x)=f(x)=0 следует, что из двух чисел w (x) и j (x), по крайней мере одно равно нулю. Пусть например w (x)=0, тогда z – корень тождественно не равного нулю многочлена w (x) с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n, т.е. меньшей чем у f(x). А это противоречит тому, что f(x) – минимальный многочлен для z. Предположение, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, оказалось неверным, т.е. f(x) неприводим над этим полем. Теорема доказана

Теорема 3: Если z корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена F(x) с рациональными коэффициентами степени n, то z – алгебраическое число степени n

Доказательство:

Обозначим минимальный многочлен для z через f(x). Согласно теоремы 1: F(x)=f(x)g(x); где g(x) – многочлен с рациональными коэффициентами. Поскольку F(x) неприводим над полем рациональных чисел и f(x) отлично от постоянного, то g(x)=c, где c – рационально. F(x)=cf(x), т.е. z – алгебраическое число n-й степени. Теорема доказана

Пример:

Пусть p – простое число

при любом простом целом a (a>1), не равном p-ой степени другого целого, представляет собой алгебраическое число степени p. Действительно это число есть корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена

x p -a=0

Если z – алгебраическое число степени n и f(x) – минимальный многочлен для z, то все корни z 1 , z 2 , … z n уравнения f(x)=0, отличные от z, называют сопряженным с z

Один из корней совпадает с z, будем ставить его на первое место, т.е. z=z 1

2.3. Поле алгебраических чисел

Теорема 4: Множество всех действительных алгебраических чисел представляет собой поле, т.е. сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел a и b (для частного при b № 0) являются алгебраическими числами

Доказательство:

1. Пусть a - корень многочлена f(x) степени n с целыми коэффициентами, корни которого a 1 , a 2 , … , a n , a и b - корень многочлена j (x) степени m с целыми коэффициентами, корни которого b 1 , b 2 , … b m ( b = b 1 ). Рассмотрим многочлен:

F(x)= (x-( a i + b i ))=

= (x- a 1 - b 1 ) (x- a 1 - b 2 ) … (x- a 1 - b m )

(x- a 2 - b 1 ) (x- a 2 - b 2 ) … (x- a 2 - b m )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(x- a n - b 1 ) (x- a n - b 2 ) … (x- a n - b m ) (2)

Если в этом произведении сделать какую угодно подстановку величин a 1 , a 2 , … , a n , то некоторые строки переставляется местами, но произведение в целом не изменится. Это значит, что F(x) – симметрический многочлен по отношению b 1 , b 2 , … b m . В целом F(x) – симметрический многочлен от двух систем аргументов: a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … b m

Страницы: 1 2

Нужен реферат, сочинение, конспект? Тогда сохрани - » Алгебраическое число . Готовые домашние задания!

Предыдущий реферат из данного раздела: ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Следующее сочинение из данной рубрики: Спектральный анализ

Спасибо что посетили сайт Uznaem-kak.ru! Готовое сочинение на тему:
Алгебраическое число.